`a)` $AD;CF$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$ của $∆ABC$
`=>\hat{BDH}+\hat{BFH}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{BDH};\hat{BFH}` ở vị trí đối nhau
`=>BDHF` nội tiếp
$\\$
$\quad BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$
`=>\hat{BEC}= \hat{BFC}=90°`
`=>BCEF` nội tiếp (có hai đỉnh kề nhau $E; F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông)
$\\$
`b)` $BCEF$ nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{EFC}=\hat{EBC}` (cùng chắn cung $EC$)
`\qquad BDHF` nội tiếp (câu a)
`=>\hat{DFH}=\hat{HBD}=\hat{EBC}` (cùng chắn cung $DH$
`=>\hat{EFC}=\hat{DFH}`
Mà tia $FC$ nằm giữa hai tia $FE$ và $FD$
`=>FC` là phân giác `\hat{EFD}`
$\\$
Vì $FB\perp FC$
`=>FB` là phân giác góc ngoài của `\hat{EFD}`
`=>FB` là phân giác `\hat{MFD}`
`=>{BD}/{MB}={FD}/{FM}`
$\\$
`\qquad FC` trở thành phân giác góc ngoài của `\hat{MFD}`
`=>{CD}/{MC}={FD}/{FM}`
$\\$
`=>{CD}/{MC}={BD}/{MB}`
$\\$
`c)` Gọi $N$ là giao điểm của $MA$ và $(O)$
$\quad ANBC$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{MNB}=\hat{MCA}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Xét $∆MNB$ và $∆MCA$ có:
`\qquad \hat{M}` chung
`\qquad \hat{MNB}=\hat{MCA}`
`=>∆MNB∽∆MCA` (g-g)
`=>{MN}/{MC}={MB}/{MA}`
`=>MN.MA=MB.MC` $(1)$
$\\$
`\qquad BCEF` nội tiếp
`=>\hat{MFB}=\hat{MCE}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Xét $∆MFB$ và $∆MCE$ có:
`\qquad \hat{M}` chung
`\qquad \hat{MFB}=\hat{MCE}`
`=>∆MFB∽∆MCE` (g-g)
`=>{MF}/{MC}={MB}/{ME}`
`=>ME.MF=MB.MC` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>MN.MA=ME.MF`
`=>{MN}/{ME}={MF}/{MA}`
$\\$
Xét $∆MNF$ và $∆MEA$ có:
`\qquad \hat{M}` chung
`\qquad {MN}/{ME}={MF}/{MA}`
`=>∆MNF∽∆MEA` (c-g-c)
`=>\hat{MNF}=\hat{MEA}`
`=>AEFN` nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) $(3)$
$\\$
Xét tứ giác $AEHF$ có:
`\qquad \hat{AFH}+\hat{AEH}=90°+90°=180°`
`=>AEHF` nội tiếp $(4)$
Từ `(3);(4)=>N;A;E;H;F` cùng thuộc một đường tròn
`=>AEHN` nội tiếp
`=>\hat{ANH}+\hat{AEH}=180°`
`=>\hat{ANH}=180°-\hat{AEH}=180°-90°=90°`
`=>HN`$\perp AM$ tại $N$
`=>\hat{INH}=90°`
$\\$
Vì $BH\perp AC$ ; $IK$//$AC$ (gt)
`=>BH`$\perp IK$
`=>\hat{HBI}=90°`
`=>\hat{INH}+\hat{HBI}=90°+90°=180°`
`=>NHBI` nội tiếp
`=>\hat{BHI}=\hat{BNI}` (cùng chắn cung $BI$) $(5)$
$\\$
$\quad ANBC$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{BNI}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) $(6)$
$\\$
Vì `\hat{HEC}+\hat{HDC}=90°+90°=180°`
`=>HECD` nội tiếp
`=>\hat{BHK}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện) $(7)$
Từ `(5);(6);(7)=>\hat{BHI}=\hat{BHK}`
`=>HB` là phân giác `\hat{IHK}`
Mà $HB\perp IK$ (c/m trên)
`=>HB` vừa là đường cao và phân giác $∆HIK$
`=>∆HIK` cân tại $H$
