$\begin{array}{l}+) \quad \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac{4}{a+b}\qquad (a;b>0)\\ \Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab} \geq \dfrac{4}{a+b}\\ \Leftrightarrow (a+b)^2 \geq 4ab\\ \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0\quad \text{(luôn đúng)}\\ Vậy\,\,\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac{4}{a+b}\quad \forall a;b>0\\ +) \quad a^2b +\dfrac1b \geq 2a\qquad (a;b>0)\\ \Leftrightarrow \dfrac{a^2b^2 + 1}{b} \geq 2a\\ \Leftrightarrow a^2b^2 + 1 \geq 2ab\\ \Leftrightarrow a^2b^2 - 2ab + 1 \geq 0\\ \Leftrightarrow (ab - 1) \geq 0\quad \text{(luôn đúng)}\\ Vậy\,\,a^2b +\dfrac1b \geq 2a\quad \forall a;b>0\\ \text{______________________________________}\\ \text{Ngoài ra, dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức trên}\\ \text{dựa vào việc áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz dạng Engel}\end{array}$
