Đáp án+Giải thích các bước giải:
Để c/m nó chia hết cho 30 thì c/ nó chia hết cho 5 và 6
$a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)$
$=a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)$
$=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$
Xét $a(a+1)(a-1)$ chia hết cho 6(do 3 số liên tiếp thì chia hết cho 3 và 2 )
⇒$a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ chia hết cho 6
mà $=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ chia hết cho 5 (do 5 số liên tiếp)
⇒$a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ chia hết cho 30 (1)
Xét $a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 6
⇒$5a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 6
mà $5a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 5
⇒$5a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 30 (2)
Từ (1) và(2)⇒$=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 30
⇒$a^5-a$ chia hết cho 30
Chúc học tốt!!!
