Đáp án: 

Đề phải cho là `n ∈ Z`

Ta có

`A = n^4 - 2n^3 - n^2 + 2n`

` = n^3.(n - 2) - n.(n - 2)`

` = (n-2)(n^3 - n)`

` = (n - 2)n.(n^2 - 1)`

` = n.(n-2).(n^2 + n - 1 - n)`

` = n(n - 2).[n.(n+1) - (n + 1)]`

` = n(n - 2).(n + 1).(n - 1)`

` = (n - 2)(n-1)n(n + 1)`

Do `n - 1 ; n ; n + 1` là 3 Số nguyên liên tiếp

=> 1 trong  3 số chia hết cho 3

` => (n-1)n(n + 1) ` chia hết cho 3 (1)

Do `n - 2  ; n - 1 ; n ; n +  1` là 4 số nguyên liên tiếp

=> 1 trong 4 số chia hết cho 4 

` => (n-2)(n - 1)n(n+1)`  chia hết cho 4 

Do `n ; n + 1` là 2 số nguyên liên tiếp

=> 1 trong 2 số là số chẵn

Do `n - 2; n-  1` là 2 số nguyên liên tiếp

=> 1 trong 2 số là số chẵn

=> Trong 4 số `n-2 ;n - 1 ; n ; n + 1` tồn tại 2 số chẵn

Trong đó có 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 2 < Vì sao lại phải xét - vì có thể số chia hết cho 4 nó chũng chia hết cho 2 nên nó sẽ không chia hết cho 8 >

` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 2.4

` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2)

` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 3.8

` => (n-2)(n-1)n(n+1)` chia hết cho 24

` => A ` chia hết cho 24

Giải thích các bước giải:

Ta có: A = $n^{4}$ - 2n³ - n² + 2n

⇔ A = $n^{4}$ + n³ - 3n³ - 3n² + 2n² + 2n

⇔ A = n³(n + 1) - 3n²(n + 1) + 2n(n + 1)

⇔ A = (n  +1)(n³ - 3n² + 2n)

⇔ A = (n + 1)(n³ - n² - 2n² + 2n)

⇔ A = (n  +1)[n²(n - 1) - 2n(n - 1)]

⇔ A = (n + 1)(n - 1)(n² - 2n)

⇔ A = (n + 1)(n - 1)n(n - 2)

⇔ A = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)

Vì A là tích của bốn số tự nhiên liên tiếp 

⇒ A vừa chia hết cho 2, 3 và 4

⇒ A chia hết cho 24  (đpcm)