Đề phải cho a,b,c lớn hơn 0 mới đúng
BĐT cần chứng minh tương đương
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\Sigma\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\dfrac{c\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)}{a+b}\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ac+bc+ac\right)\le a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
áp dụng Bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)\
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\)
Ta cần cm
\(a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
BĐT trên tương đương
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)\)
BĐT trên là hệ quả của BĐT Schur nên ta có đpcm
