Ta có:
$\begin{array}{l} {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + 2xy\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$