Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} - ab\\
= {a^2} - 2.a.\dfrac{b}{2} + {\left( {\dfrac{b}{2}} \right)^2} + {b^2} - {\left( {\dfrac{b}{2}} \right)^2}\\
= {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + {b^2} - \dfrac{1}{4}{b^2}\\
= {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{b^2}
\end{array}$
Mà:
$\begin{array}{l}
{\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2},{b^2} \ge 0,\forall a,b\\
\Rightarrow {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{b^2} \ge 0,\forall a,b\\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} - ab \ge 0,\forall a,b
\end{array}$
Ta có điều phải chứng minh.
b) Bạn xem lại đề
Phản ví dụ:
Nếu $a = \dfrac{1}{2};b = \dfrac{{ - 1}}{2}$ thì:
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^4} + {b^4} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4} + {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^4} = \dfrac{1}{8}\\
{a^3} - {b^3} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{4}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {a^4} + {b^4} < {a^3} - {b^3}
\end{array}$
