Phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có nghiệm $x_1$, $x_2$.
Đặt $S=x_1+x_2$, $P=x_1x_2$
$1) $ Phương trình 2 nghiệm trái dấu:
ĐK: $\Delta>0$ (nghiệm kép thì không thể trái dấu)
Ta có $x_1<0$, $x_2>0$ hoặc $x_1>0$, $x_2<0$
Do đó $x_1x_2$ luôn mang dấu âm, hay $P<0$
$2) $ Phương trình 2 nghiệm cùng dấu:
ĐK: $\Delta\ge 0$
Ta có $x_1>0$, $x_2>0$ hoặc $x_1<0, x_2<0$
Do đó $x_1x_2$ luôn mang dấu dương, hay $P>0$
+ Hai nghiệm dương: thêm điều kiện $S>0$ do $x_1>0, x_2>0\to x_1+x_2>0$
+ Hai nghiệm âm: thêm điều kiện $S<0$ do $x_1<0, x_2<0\to x_1+x_2<0$
$3)$ Phương trình hai nghiệm phân biệt dương: tương tự $(2)$, thay $\Delta\ge 0$ bằng $\Delta>0$ để hai nghiệm phân biệt.
$4)$ Phương trình hai nghiệm phân biệt âm: tương tự $(2)$, thay $\Delta\ge 0$ bằng $\Delta>0$ để hai nghiệm phân biệt.
