Xét $(x-y)+3.(y-z)+5.(z-x)$
$ = -4x-2y-2z \vdots 2$
Do đó $(x-y)+3.(y-z)+5.(z-x)$ chẵn
Mà $|x-y|+3.|y-z|+5|z-x|$ cùng tính chẵn lẻ với $(x-y)+3.(y-z)+5.(z-x)$
$\to |x-y|+3.|y-z|+5|z-x| \vdots 2$
Mà $2003 \not \vdots 2$
$\to$ Không tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn đề.