Hàm số $f(x)=m(x-1)^3(x-2)+2x-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$
$\to f(x)$ liên tục trên $[1;2]$
$f(1)=m.0.(-1)+2.1-3=-1<0$
$f(2)=m(2-1)^3.(2-2)+2.2-3=1>0$
$\to f(1).f(2)<0$
$\to f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm trên $(1;2)$
Vậy phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.