Ta có công suất mạch ngoài là:
${P_{ng}} = {I^2}{R_{ng}} = \dfrac{{{E^2}{R_{ng}}}}{{{{\left( {{R_{ng}} + r} \right)}^2}}} = \dfrac{{{E^2}{R_{ng}}}}{{{R_{ng}}^2 + 2{R_{ng}}r + {r^2}}} = \dfrac{{{E^2}}}{{{R_{ng}} + 2r + \dfrac{{{r^2}}}{{{R_{ng}}}}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô sy ta có:
$\begin{array}{l}
{R_{ng}} + \dfrac{{{r^2}}}{{{R_{ng}}}} \ge 2.\sqrt {{R_{ng}}.\dfrac{{{r^2}}}{{{R_{ng}}}}} = 2r\\
\Leftrightarrow {R_{ng}} + 2r + \dfrac{{{r^2}}}{{{R_{ng}}}} \ge 4r\\
\Leftrightarrow P \le \dfrac{{{E^2}}}{{4r}}
\end{array}$
Dấu '' = '' xảy ra ( tức là công suất đạt cực đại ) khi:
${R_{ng}} = \dfrac{{{r^2}}}{{{R_{ng}}}} \Rightarrow {R_{ng}}^2 = {r^2} \Leftrightarrow {R_{ng}} = r$
