Ta có do $\left( {2,3} \right) = 1 \Rightarrow \left( {{2^n},{3^n}} \right) = 1$
Từ đó suy ra $2^n$ chia cho 3 dư 1 hoặc $2$
Xét các trường hợp:
TH1: $2^n$ chia 3 dư $1$ hay $n$ chẵn thì ta có $2^n+2$ chia 3 dư 3 hay chia hết cho $3$
Từ đó suy ra $(2^n+1)(2^n+2)\vdots 3$
TH2: $2^n$ chia cho 3 dư $2$ hay $n$ lẻ thì ta có $2^n+1$ chia 3 dư 3 hay chia hết cho $3$
Từ đó suy ra $(2^n+1)(2^n+2)\vdots 3$
Vậy $(2^n+1)(2^n+2)\vdots 3$ với mọi $n\in \mathbb{N}$
