b) \(n^3+3n^2-n-3\)
\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)\) (2)
Vì n là số tự nhiên lẻ nên n : 2 dư 1
Gọi n = 2p + 1
Thay n = 2p + 1 vào (2)
=> (2) \(=\left[\left(2p+1\right)^2-1\right]\left[\left(2p+1\right)+3\right]\)
\(=\left[4p^2+4p+1-1\right]\left[2p+1+3\right]\)
= \(\left[4p^2+4p\right]\left[2p+4\right]\)
\(\)\(=4p\left[p+1\right]2\left[p+2\right]\)
\(=8p\left(p+1\right)\left(p+2\right)\)
=> \(8p\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮16\)
hay (2) \(⋮16\) (3)
Ta xét tiếp:
TH1 : Vì n là số lẻ => n = 3p
=> (2) \(=\left[\left(3p\right)^2-1\right]\left[3p+3\right]\)
\(=\left[9p^2-1\right]\left[p+1\right]3\)
Ta thấy \(\left[9p^2-1\right]\left[p+1\right]3⋮3\)
TH2: Vì n là số lẻ => n = 3p + 1
=> (2)\(=\left[\left(3p+1\right)^2-1\right]\left[3p+1+3\right]\)
\(=\left[9p^2+6p+1-1\right]\left[3p+1+3\right]\)
\(=3\left[3p^2+2p\right]\left[3p+1+3\right]\)
Ta thấy \(3\left[3p^2+2p\right]\left[3p+1+3\right]⋮3\)
Qua 2TH
=> (2) \(⋮3\) (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\left(2\right)⋮48\)
=> đpcm
