a)Ta có 10^k -1 chia hết cho 19
⇒ 10^k -1≡ 0(mod 19)
⇒ 10^k -1+1≡0 + 1(mod 19)
⇒ 10^k ≡ 1 (mod 19)
⇒ 10^a.k ≡ 1(mod 19)
⇒ 10^a.k -1 ≡ 1-1(mod 19)
⇒ 10^a.k -1≡ 0 (mod 19)
Vì 10^a.k -1 đồng dư với 0 theo môđun 19 ⇒ 10^a.k -1 chia hết cho 19 (đpc/m)
b)Ta xét dãy số gồm 20 số: 19;1919;191919;....,.;1919....19
20 số 19
Áp dụng nguyên lý Điricle thì có ít nhất [20/19] + 1=2 số có cùng số dư khi chia cho 19
Giả sử hai số đó là a=1919.....19 ; b=1919....19 (n>m,n;m∈N)
n số 19 m số 19
⇒(a - b) chia hết cho 19
⇒(1919....19 - 1919....19) chia hết cho 19
⇒ 1919...19 00...0 chia hết cho 19
n-m số 19 m số 19
⇒ 1919....19 . 10^m chia hết cho 19
n-m số 19
Mà (10^m;19)=1
⇒1919....19 chia hết cho 19⇒là bội của 19
Vậy ta c/m dc tồn tại 1 số toàn số 19 là bội của 19
