Đáp án:
Ta dễ dàng chứng minh được: $0 < a,b,c \le \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta được:
$\begin{array}{l}
(\frac{3}{2} - a) + (\frac{3}{2} - b) + (\frac{3}{2} - c) \ge 3\sqrt[3]{{(\frac{3}{2} - a)(\frac{3}{2} - b)(\frac{3}{2} - c)}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \ge (\frac{3}{2} - a)(\frac{3}{2} - b)(\frac{3}{2} - c)\\
\Leftrightarrow \frac{1}{8} \ge \frac{{27}}{8} - \frac{9}{4}\left( {a + b + c} \right) + \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) - abc\\
\Leftrightarrow \frac{1}{8} \ge - \frac{{27}}{8} + \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ac} \right) - abc\\
\Leftrightarrow 4abc \ge - 14 + 6\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\left( {dpcm} \right)
\end{array}$
