Gọi ba số tự nhiên đó là `a ; a + 1 ; a + 2 (a ∈ NN)`
Ta có:
Lấy `a` chia cho `2` ta có:
`+) a = 2k (k ∈ NN)`
`=> a . (a + 1) . (a + 2) = 2k . (2k + 1) . (2k + 2) \vdots 2`
`+) a = 2k + 1 (k ∈ NN)`
`=> a . (a + 1) . (a + 2) = (2k + 1) . (2k + 1 + 1) . (2k + 1 + 2) = (2k + 1) . (2k + 2) . (2k + 1 + 2) = (2k + 1) . 2 . (k + 1) . (2k + 3) \vdots 2`
`=>` Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `2 (1)`
Mặt khác:
Lấy `a` chia cho `3` ta có:
`+) a = 3m (m ∈ NN)`
`=> a . (a + 1) . (a + 2) = 3m . (3m + 1) . (3m + 2) \vdots 3`
`+) a = 3m + 1 (m ∈ NN)`
`=> a . (a + 1) . (a + 2) = (3m + 1) . (3m + 1 + 1) . (3m + 1 + 2) = (3m + 1) . (3m + 2) . (3m + 3) = (3m + 1) . (3m + 2) . 3 . (m + 1) \vdots 3`
`+) a = 3m + 2 (m ∈ NN)`
`=> a . (a + 1) . (a + 2) = (3m + 2) . (3m + 2 + 1) . (3m + 2 + 2) = (3m + 2) . (3m + 3) . (3m + 4) = (3m + 2) . 3 . (m + 1) . (3m + 4) \vdots 3`
`=>` Tích `3` số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `3 (2)`
Từ `(1) ; (2)`
`=> a . (a + 1) . (a + 2) \vdots 2 . 3 = 6`
Vậy tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho `6`
