Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét \(32\) số :
\(1\)
\(11\)
\(111\)
..........
\(\underbrace{111...111}_{\text{32 số}}\)
Vì ta có $32$ số, mà mỗi số khi chia cho $31$ có thể dư $0,1,....,30$ (\(31\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{32}{31} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $31$
Gọi hai số đó là \(\underbrace{111....1}_{m}\) và \(\underbrace{111....1}_{n}\) với \(m< n\)
Khi đó: \(\underbrace{111....1}_{n}-\underbrace{111....1}_{m}\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{111....1}_{n}-\underbrace{111....1}_{m}\vdots 31\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-1}{9}-\frac{10^m-1}{9} \right )\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-10^m}{9} \right )\vdots 31\Leftrightarrow \frac{10^m(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\Rightarrow \frac{(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{111...1}_{n-m}\vdots 31\)
Do đó tồn tại số toàn chữ số $1$ chia hết cho $31$
