Chứng minh rằng : Với 3 số dương ta có:(a^2/b + b^2/c + c^2/a) +( a+b+c) >= [6(a^2 +b^2 + c^2)]/(a+b+c)

Phuong33209

5 năm trước

Chứng minh rằng : Với 3 số dương ta có:

(a^2/b + b^2/c + c^2/a) +( a+b+c) >= [6(a^2 +b^2 + c^2)]/(a+b+c)

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 174 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ducanh2k

Lời giải:

$\text{BĐT}\Leftrightarrow \left ( \frac{a^2}{b}-2a+b \right )+\left ( \frac{b^2}{c}-2b+c \right )+\left ( \frac{c^2}{a}-2c+a \right )\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)]}{a+b+c}(1)$

Do BĐT có tính hoán vị giữa các biến nên giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{a+b+c}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}(2)$

Ta chỉ cần CM $\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}\geq \frac{2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]}{a+b+c}(3)\Leftrightarrow (a-c)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2$

$\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\leq 0$ . Điều này luôn đúng với $b$ nằm giữa $a$ và $c$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \text{đpcm}$ . Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho biết a-b=7 Tính giá trị của biểu thức:

a) a(a+2)+b(b-2)-2ab

b) a2(a+1)-b2(b-1)+ab-3ab(a-b+1)

cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.cmr :

a+b+c $\ge$ $\frac{a+1}{b+1}$ + $\frac{b +1}{c+1}$ + $\frac{c+1}{a+1}$

cho a,b,c >0 và $a^2+b^2+c^2=3$ tìm min của biểu thức

$P=\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$

Cho a,b,c > 0

CMR $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}$ $\ge6$

cho a,b,c>0. chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}$ + $\sqrt{\frac{\left(b^2+ac\right)\left(a+c\right)}{b\left(a^2+c^2\right)}}$ + $\sqrt{\frac{\left(c^2+ab\right)\left(a+b\right)}{c\left(a^2+b^2\right)}}$ $\ge$ $3\sqrt{2}$

1)giải pt $\sqrt{4-x^2}+\sqrt{1+4x}+\sqrt{x^2+y^2-2y-3}=\sqrt{x^4-16}-y+5$

2) giả sử x>z ; y>z ; z>0 .cmr $\sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\le\sqrt{xy}$

cho a,b,c,d >0 . cmr:

$\frac{a}{b+2c+3d}$ + $\frac{b}{c+2d+3a}$ + $\frac{c}{d+2a+3b}$ + $\frac{d}{a+2b+3c}$ $\ge$ $\frac{2}{3}$

Tìm điều kiện đối với a, b để có: $\frac{a}{b}$ = $\frac{a+c}{b+c}$ (c khác 0)

Tìm điều kiện đối với các số hữu tỉ x,y để $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+y}$

Bài 15 (SBT trang 109)

Viết điều kiện của mỗi bất phương trình sau :

a) $2x-3-\dfrac{1}{x-5}< x^2-x$

b) $x^3\le1$

c) $\sqrt{x^2-x-2}< \dfrac{1}{2}$

d) $\sqrt[3]{x^4+x-1}+x^2-1\ge0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x-1}$ , với $x>1$ ?