Chứng minh rằng: Với mọi ΔABC ta đều có \(\small (sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2})\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}\)

duongq766

5 năm trước

Chứng minh rằng: Với mọi ΔABC ta đều có
\(\small (sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2})\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}\)

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 241 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

anchidao2000

Ta có: \(\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}\in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\) nên \(sin\frac{A}{2},sin\frac{B}{2},sin\frac{C}{2}, cos\frac{A}{2},cos\frac{B}{2}, cos\frac{C}{2}>0\)
\(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}\geq 3^3\sqrt{sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\geq 0}\)
\(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}\)
\(=\frac{sin\frac{A}{2}(sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}.cos\frac{B}{2})}{2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}}\)

\(+\frac{sin\frac{B}{2}(sin\frac{A}{2}cos\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2})}{2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}}\)

\(+\frac{sin\frac{C}{2}(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{B}{2}.cos\frac{A}{2})}{2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}}\)

\(=\frac{sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}}\)

\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}}}\)

\((sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2})\geq \frac{9}{2}\sqrt[3]{cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}}\)
Lại có \(cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}\geq 3\sqrt{3}\)
\((sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2})\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow\) ΔABC đều

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng BC có phương trình y = 0. M là trung điểm cạnh BC, điểm E thuộc đoạn MC. Gọi \(O_1(2;\frac{1}{2}); O_2(7;8)\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACE. Tìm tọa độ các điểm E và M, biết rằng hoành độ điểm E lớn hơn hoành độ điểm M.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có AD = 2AB . Điểm \(H\left ( \frac{31}{5} ;\frac{17}{5}\right )\) là điểm đối xứng của điểm B qua đường chéo AC . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
ABCD, biết phương trình CD: x - y - 10 = 0 và C có tung độ âm.

Cứu với mọi người!

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC với H(0; -1), đường trung tuyến CM của tam giác CAH có phương trình x + 3y - 1 = 0, điểm B thuộc đường thẳng d: x - y - 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết hoành độ điểm A nguyên.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D(5;4). Đường trung trực của đoạn DC có phương trình d1: 2x + 3y – 9 = 0 và đường phân giác trong góc BAC của tam giác ABC có phương trình d2: 5x + y + 10 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Giải hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} 2+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\\ 3^{\sqrt{x+\sqrt{x-2y}+2}}.2^{2x+6y-3}+9.2^{2x+6y-3}=2^{2.{\sqrt{x+\sqrt{x-2y}+2}}}.3^{x+3y}+18.4^{\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}}. \end{matrix}\right.\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Chứng minh rằng \(sin^6x+cos^6x=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB//CD có diện tích bằng 14, \(H(-\frac{1}{2};0)\) là trung điểm của cạnh BC và \(I(\frac{1}{4};\frac{1}{2})\)là trung điểm của AH. Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D thuộc đường thẳng d: \(5x-y+1=0\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Điểm D thuộc tia đối của tia AC sao cho GD = GC. Biết điểm G thuộc đường thẳng d: 2x+3y-13=0 và tam giác BDG nội tiếp đường tròn (C): \(x^2+y^2-2x-12y+27=0\) . Tìm toạ độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC, biết điểm B có hoành độ âm và toạ độ điểm G là số nguyên

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy), cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J (2;1). Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình: 2x + y -10 = 0 và D(2;-4) là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x + y + 7 = 0

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Giải phương trình sau trên tập số thực \(\sqrt{7x^2+25x+19}-\sqrt{x^2-2x-35}=7\sqrt{x+2}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến