Ta đi chứng minh bằng quy nạp toán học. Đặt biểu thức là (1)
Với $n=2$ thì ta có: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{{12}} > \dfrac{1}{2}$
Như vậy bất đẳng thức đúng với $n=2$
Giả sử $n=k$ đúng với $k>2$ ta được:
$\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{1}{2}$
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi $n=k+1$, nghĩa là ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \dfrac{1}{2}$
Thật vậy ta có:
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\\ = \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)}}{{\left( {2k + 1} \right)2\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\ > \dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{1}{2} \end{array}$ (theo giả thiết quy nạp)
Từ đó ta suy ra (1) đúng với mọi số tự nhiên $n>1$
