Giải thích các bước giải:
$A=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{1005^2}$
Với $n>2; A>\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{5}{4}>1(1)$
$A=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{1005^2}\\ =1+\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\cdots+\dfrac{1}{1005.1005}\\ <1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\cdots+\dfrac{1}{1004.1005}$
Ta có:
$\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\ \cdots\\ \dfrac{1}{1004.1005}=\dfrac{1}{1004}-\dfrac{1}{1005}\\ \Rightarrow A<1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{1004}-\dfrac{1}{1005}\\ \Leftrightarrow A<1+1-\dfrac{1}{1005}\\ \Leftrightarrow A<2-\dfrac{1004}{1005}\\\Rightarrow A<2(2)\\ (1)(2) \Rightarrow 1<A<2$
Mà không có số tự nhiên nào nằm giữa $1$ và $2$
$\Rightarrow A$ không là số tự nhiên.
