Lời giải
Giả sử `\sqrt{5}` là số hữu tỉ, sẽ có dạng `\sqrt{5}=a/b` với `a,b∈NN, b\ne0, (a,b)=1.`
Khi đó: `a=b.\sqrt{5}<=>a^2=5b^2.` `(1)`
Có: `5b^2⋮5=>a^2⋮5`, mà `5` là số nguyên tố nên `a⋮5.`
Đặt `a=5k(k∈ZZ)<=>a^2=25k^2.` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)``=>5b^2=25k^2<=>b^2=5k^2`
Có: `5k^2⋮5=>b^2⋮5`, mà `5` là số nguyên tố nên `b⋮5.`
`=>a,b` cùng chia hết cho `5.`
`=>a,b` có một ước chung là `5.`
Trái với giả thiết ` (a,b)=1.`
Vậy giả sử `\sqrt{5}` là số hữu tỉ là sai. Do đó: `\sqrt{5}` là số vô tỉ.
