Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\left( {a
e 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt với \(\forall m\)\( \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\forall m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2.\)
Giải chi tiết:Xét phương trình: \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 2m - 1 = 0\) có:
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 2m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 + 8m + 4\\ = {m^2} + 4m + 8 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\,\,\forall m\end{array}\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = m - 2\\{x_1}{x_2} = - 2m - 1\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} - 2.\left( { - 2m - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 4m + 2\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 6 \ge 6\,\,\forall m\\ \Rightarrow Min\,\,A = 6.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 0.\)
Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(6\) khi và chỉ khi \(m = 0\).
Chọn B.
