Đáp án + giải thích các bước giải:
`\sqrt{1^3+2^3+...+n^3}=1+2+3+...+n (**)`
Kiểm tra khi `n=1`, mệnh đề `(**)` trở thành `\sqrt{1}=1` (đúng)
Giả sử mệnh đề `(**)` đúng khi `n=k>=1`, tức là:
`S_k=\sqrt{1^3+2^3+...+k^3}=1+2+3+...+k` (giả thiết quy nạp)
Cần chứng minh mệnh đề `(**)` đúng với `n=k+1`, tức là:
`S_{k+1}=\sqrt{1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3}=1+2+3+..+k+k+1`
Thật vây: `S_{k+1}=\sqrt{1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3}=\sqrt{(S_k)^2+(k+1)^3}=\sqrt{(1+2+3+..+k)^2+(k+1)^3}=\sqrt{[(k(k+1))/2]^2+(k+1)^3}=\sqrt{(k^2(k+1)^2+4(k+1)^3)/4}=\sqrt{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}/2=\sqrt{(k+1)^2(k+2)^2}/2=((k+1)(k+2))/2=((k+1+1)(k+1))/2=1+2+3+...+k+k+1`
Vậy mệnh đề `(**)` đúng với mọi `n` nguyên dương
