Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$n^3=\dfrac{2n^3+2n^3}{4}=\dfrac{n^4+2n^3+n^2-(n^4-2n^3+n^2)}{4}=\dfrac{(n^2+n)^2}{4}-\dfrac{(n^2-n)^2}{4}$

$⇒n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2-\left(\dfrac{n(n-1)}{2} \right)^2$

Thay $n$ lần lượt bởi các giá trị từ 1 đến n ta được:

$1^3=\left(\dfrac{1.2}{2} \right)^2-\left(\dfrac{1.0}{2} \right)^2$

$2^3=\left(\dfrac{2.3}{2} \right)^2-\left(\dfrac{1.2}{2} \right)^2$

$3^3=\left(\dfrac{3.4}{2} \right)^2-\left(\dfrac{2.3}{2} \right)^2$

..............

$n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2-\left(\dfrac{n(n-1)}{2} \right)^2$

Cộng vế với vế:

$1^3+2^3+...+n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2-\left(\dfrac{1.0}{2} \right)^2=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2$

Mà $n(n+1)$ luôn chẵn $⇒\dfrac{n(n+1)}{2}∈N$

$⇒\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2$ là số chính phương hay $1^3+2^3+...+n^3$ là số chính phương

Chúng ta luôn có công thức  `1^3 + 2^3 +3^3 +...... + n^3 = (1+2+3+......n)^2` , nhưng đề bài bắt chứng minh thì cứ quy nạp sử dụng thôi ạ !!!

Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )

Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )

Giả sử điều trên đúng với $n =k$ ; ta sẽ chứng minh với $n = k+1$ cũng đúng

Ta có 

` 1^3 +2^3 + ..... +k^3 = ( 1 + 2 + ..... + k )^2`

` => 1^3 + 2^3 +..... + k^3 +  (k+1)^3 = ( 1 + 2 +..... +k )^2 + (k+1)^3`

` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`

Cần chứng minh ` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`

Đẳng thức cần chứng minh tương đương

` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`
` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`

Đẳng thức được chứng minh

Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +...... + n^3 = (1+2+3+......n)^2 =>` Tổng trên là số chính phương