Ta có
$21^{10}-1 = 1 + 21 + \cdots + 21^9$
Thật vậy, đặt
$A = 1 + 21 + \cdots + 21^9$.
KHi đó
$21A = 21 + 21^2 + \cdots + 21^{10}$
Vậy
$21A - A = (21 + 21^2 + \cdots + 21^{10}) - (1 + 21 + \cdots + 21^9)$
$\Leftrightarrow 20A = 21^{10}-1$
Vậy để chứng minh $21^{10}-1$ chia hết cho 200 thì ta sẽ chứng minh $20A$ chia hết cho 200.
Dễ thấy rằng $20A$ chia hết cho 20. Vậy để chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra $A$ chia hết cho 10.
Ta để ý rằng $21^n$ có chữ số tận cùng là 1 với mọi lũy thừa $n$. Do đó
$A = 1 + 21 + \cdots + 21^{9}$
có 10 số hạng, mỗi số hạng có chữ số tận cùng là 1. Do đó, chữ số tận cùng của A là
$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10$
Vậy chữ số tận cùng của A là 0.
Do đó A chia hết cho 10. Điều này dẫn đến 20A chia hết cho 200 và kết luận rằng $21^{10}-1$ chia hết cho 200.
