Giải thích các bước giải:
$A= 10^n+18n-1$
$+)$ Xét $n=0$ thì $A_{0} = 0 \vdots 27$ $(1)$
$+)$ Xét $n=1$ thì :
$A_{1} = 10^1 + 18.1 - 1 = 27 \vdots 27$ $(2)$
$+)$ Giả sử $A_{n} \vdots 27$ với $n=k$$(k \in N)$. Tức là ta có :
$A_{k} = 10^k+18k-1 \vdots 27$
Ta cần chứng minh $A_{n}$ cũng chia hết cho $27$ với$n=k+1$. $(k \in N)$
Thật vậy, ta có :
$A_{k+1} = 10^{k+1}+18.(k+1)-1$
$ = 10^k.10+18k+17$
$=10.(10^k+18k-1) - 162k + 27$
Ta thấy : $10.(10^k+18k-1) \vdots 27$ ( Theo giả thiết quy nạp )
$162k \vdots 27 $ $∀k \in N$
Do đó : $=10.(10^k+18k-1) - 162k + 27 \vdots 27$
Hay : $A_{k+1} \vdots 27$
Nên bài toán đúng với $n=k+1$ $(3)$
Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra : $A_{n} \vdots 27$ $∀$ $n \in N$
Vậy bài toán được hoàn tất !
