Giả sử \(d\) là ước chung lớn nhất của \(n+1\) và \(n+2.\) Ta sẽ chứng minh \(d=1\) hoặc \(d=-1.\)
Ta có : \(d\) là ước chung lớn nhất của \(n+1\) và \(n+2.\)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \,\,\,\,n + 1\,\, \vdots \,\,d\,\,\,;\,\,\,n + 2\,\, \vdots \,\,d\\
\Rightarrow \left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right]\,\,\, \vdots \,\,d\\
\Rightarrow n + 1 - n - 2\,\,\,\,\, \vdots \,\,d\\
\Rightarrow - 1\,\,\, \vdots \,\,d\,\\
\Rightarrow d = 1\,\,hoac\,\,d = - 1
\end{array}$
Vậy \(n+1\) và \(n+2\) nguyên tố cùng nhau.
