Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
và $N$ là hình chiếu của $M$ lên $d$
Ta có:
$BK\perp d$
$CI\perp d$
$\Rightarrow BCIK$ là hình thang vuông tại $K, \, I$
Ta lại có:
$MB = MC$
$MN//BK//CI \, (\perp d)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của hình thang
$\Rightarrow MN= \dfrac{BK+ CI}{2}$
hay $2MN= BK + CI$
Gọi $D$ là giao điểm của $MH$ và $GE$
Ta có:
$AH//GE\, (\perp d)$
$\Rightarrow AH//GD$
Theo định lý Thales, ta được:
$\dfrac{MG}{MA} = \dfrac{GD}{AH} = \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AH$
Ta cũng được: $DE//MN$
$\Rightarrow \dfrac{DE}{MN} = \dfrac{DH}{HM}$
Ta có: $\dfrac{MD}{MH} = \dfrac{MG}{MA} = \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{DH}{MH} = \dfrac{2}{3}$
Do đó: $\dfrac{DE}{MN} = \dfrac{DH}{MH} = \dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow DE = \dfrac{2}{3}MN$
Ta được:
$GE = GD + DE= \dfrac{1}{3}AH + \dfrac{2}{3}MN = \dfrac{1}{3}AH + \dfrac{1}{3}(BK + CI)$
$\Leftrightarrow GE = \dfrac{AH + BK + CI}{3}$
Hay $AH + BK + CI = 3GE$
