Đáp án:
Giải thích các bước giải: Hiển nhiên mà
$ (a - b)² ≥ 0 ⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇔ a² - ab + b² ≥ ab$
$ ⇔ (a + b)(a² - ab + b²) ≥ ab(a + b)$
$ ⇔ a³ + b³ ≥ a²b + ab² (1)$
Tương tự:
$ b³ + c³ ≥ b²c + bc² (2)$
$ c³ + a³ ≥ c²a + ca² (3)$
$(1) + (2) + (3) :$
$ 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b)$
$ ⇔ a³ + b³ + c³ ≥ \dfrac{1}{2}[a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b)]$
---------------------
$ 1 ≤ a, b, c ≤ 2 ⇒ 1 - a ≤ 0; 1 - b ≤ 0 ; 2 - a ≥ 0; 2 - b ≥ 0$
Ta có:
$ (1 - a) + (1 - b) ≤ 0 ⇔ 2 - a - b ≤ 0 (1)$
$ (1 - a)(2 - a) ≤ 0 ⇔ a² - 3a + 2 ≤ 0 (2)$
$ (1 - b)(2 - b) ≤ 0 ⇔ b² - 3b + 2 ≤ 0 (3)$
$ 0 ≤ 6(1 - a)(1 - b) ⇔ 6a + 6b - 6 ≤ 6ab (4)$
$ (1) + (2) + (3) + (4)$ vế theo vế:
$ a² + b² + 2a + 2b ≤ 6ab$
Và do $ c ≤ 2$ nên:
$ ⇔ a² + b² + ca + bc ≤ a² + b² + 2a + 2b $
$ ⇒ a² + b² + ca + bc ≤ 6ab$
$ ⇔ \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{b + c}{a} ≤ 6 (5)$
Mặt khác $a, b, c$ có vai trò bình đẳng nên không
mất tính tổng quát có thể giả thiết $ 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 2$
$ ⇒ c ≤ 2 ≤ a + b ⇔ \dfrac{a + b}{c} ≥ 1$
