Ta có : $x^2+y^2+1 > x\sqrt[]{y^2+1} + y\sqrt[]{x^2+1}$
$⇔2.(x^2+y^2+1) > 2.(x\sqrt[]{y^2+1} + y\sqrt[]{x^2+1})$
$⇔(x^2-2x\sqrt[]{y^2+1} + y^2+1)+(y^2-2y\sqrt[]{x^2+1}+x^2+1) > 0 $
$⇔ (x-\sqrt[]{y^2+1})^2+(y-\sqrt[]{x^2+1})^2 > 0$ ( Luôn đúng ) $(*)$
Dấu "=" của $(*)$ không xảy ra vì nếu xảy ra thì :
$x^2 = y^2+1; y^2 = x^2+1$ Điều này vô lí.
Do đó : $ (x-\sqrt[]{y^2+1})^2+(y-\sqrt[]{x^2+1})^2 > 0$
Tức : $x^2+y^2+1 > x\sqrt[]{y^2+1} + y\sqrt[]{x^2+1}$
