Đáp án:
Bên dưới
Giải thích các bước giải:
Vì n chẵn nên n có dạng là `2k`
`⇒ n^3 + 54n^2 + 8.n`
`= ( 2.k)^3 + 54.(2.k)^2 + 8.2.k`
`= 8.k^3 + 54 . 4 .k^2 + 16.k`
`= 8.k^3 + 216 . k^2 + 16k`
`= 8k . (k^2 + 27k+ 2)` $\vdots$ `8` ( vì `8k` $\vdots$ `8`)
Xét `k^2 + 27k + 2` ta có:
`k^2 + 27k + 2`
`= k^2 + 3k + 24k+ 2`
`= k^2 + 3k + 2+ 24k`
`= k^2 + k + 2k+ 2 + 24k`
`= k.(k+1) + 2.(k+1) + 24k`
`= ( k+1).(k+2) + 24k`
`⇒ 8k . (k^2 + 27k+ 2)`.
`= 8.k.[(k+1) . (k+2) + 24k]`
`= 8.k.(k+1).(k+2) + 192k^2`
Xét `k.(k+1).(k+2)` là 3 số tự nhiên liên tiếp
`⇒ k.(k+1).(k+2)` $\vdots$ `2, 3`
Mà `(2,3) = 1`
`⇒ k. (k+1).(k+2)` $\vdots$ `2.3` `⇒ k.(k+1).(k+2)` $\vdots$ `6`
`⇒ 8. k.(k+1).(k+2)` $\vdots$ `6.8`
`⇒ 8.k.(k+1).(k+2)` $\vdots$ `48`
Mà `192k^2` $\vdots$ `48` ( Do `192` $\vdots$ `48` )
`⇒` `n^3+54n^2 + 8n` $\vdots$ `48` với mọi n chẵn (đpcm)
@Active Activity
