Ta có: $n(n+1)=n^2+n$
Gọi $d=ƯCLN(2n+1; n^2+n)$ $(d\in N$*)
`=>2n+1` chia hết $d$ và $n^2+n$ chia hết $d$
`=>n(2n+1)` chia hết $d$
`=>2n^2+n` chia hết $d$
`=>(2n^2+n)-(n^2+n)` chia hết $d$
`=>2n^2+n-n^2-n` chia hết $d$
`=>n^2` chia hết $d$
Mà $n^2+n$ chia hết $d$
`=>n^2+n-n^2` chia hết $d$
`=>n` chia hết $d$
`=>2n` chia hết $d$
Vì $2n+1$ chia hết $d$
`=>2n+1-2n` chia hết $d$
`=>1 ` chia hết $d$
Vì $d\in N$*`=>d=1`
Vậy $2n+1$ và $n(n+1)$ là $2$ số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên $n$ khác $0$
