`1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2014^2`
Đặt : `K=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2014^2`
`->` `1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2014^2=1+K`
`+)` Với mọi số tự nhiên ta luôn có `:`
`(n-1)^2<n^2<(n+1)^2-> 1/{(n+1)^2}<1/n^2<1/{(n-1)^2`
Áp dụng ta có :
`K<1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/2013.2014`
`->` `K<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/2013-1/2014`
`->` `K<1-1/2014=2013/2014<1`
`->` `K<1`
`->` `1+K<1+1`
`->` `1+K<2`
Vì `1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2014^2=1+K`
mà `1+K<2` nên :
`1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2014^2<2` `->đpcm`
Vậy `:` `1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2014^2<2`
