Đáp án:
`1<1/5+1/6+...+1/16+1/17 < 2`
Giải thích các bước giải:
`1/5 + 1/6 + ... + 1/16 + 1/17`
`= (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + ... + 1/17)`
$\bullet$
`1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8`
Vì : `5 > 8`
`-> 1/5 > 1/8`
Tương tự có :
`1/6 > 1/8`
`1/7 > 1/8`
`1/8=1/8`
Cộng theo vế ta được :
`-> 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8`
`-> 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 . 4`
`-> 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2` `(1)`
`1/9 + 1/10 + ... + 1/17`
Vì `9 < 18`
`-> 1/9 > 1/18`
Tương tự có :
`1/10 > 1/18`
`..........`
`1/17 > 1/18`
Công theo vế ta được :
`-> 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 > \underbrace{1/18 + 1/18 +...+1/18}_{(17-9):1+1=9 \text{số} 1/18}`
`-> 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 > 1/18 . 9`
`-> 1/9 + 1/10 + ..+1/17 > 1/2` `(2)`
Lấy `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`-> 1/2 + 1/2 < (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + ... + 1/17)`
`-> 1 < 1/5 + 1/6 + ... + 1/16 + 1/17` `(3)`
$\bullet$
`1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8`
Vì `5 > 4`
`-> 1/5 < 1/4`
Tương tự có :
`1/6 < 1/4`
`1/7 < 1/4`
`1/8 < 1/4`
Cộng theo vế ta được :
`->1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 <1/4+1/4+1/4+1/4`
`-> 1/5+1/6+1/7+1/8 <1/4.4`
`-> 1/5+1/6+1/7+1/8 < 1` `(4)`
`1/9 + 1/10 + ... + 1/17`
Vì `10 > 9`
`-> 1/10 < 1/9`
Tương tự có :
`.......`
`1/17 < 1/9`
Cộng theo vế ta được :
`->1/9+1/10+...+1/17 < \underbrace{1/9 + 1/9 +...+1/9}_{(17-9):1+1=9 \text{số} 1/9}`
`->1/9 + 1/10 +...+1/17 <1/9 . 9`
`->1/9 + 1/10 +...+1/17 < 1` `(5)`
Lấy `(4)+(5)` vế với vế ta được :
`->(1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + ... + 1/17) <1+1`
`-> 1/5 + 1/6 + ... + 1/16 + 1/17 <2` `(6)`
Từ `(3), (6)`
`->1<1/5+1/6+...+1/16+1/17 < 2` (đpcm)
