Bài toán chứng minh
\begin{equation} P_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}\ge \dfrac{13}{24},\forall n \ge 2. \tag{*} \end{equation}
Ta có: $P_2=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}>\dfrac{13}{24}$
Giả sử mệnh đề (*) đúng với $n=k$.
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với $n=k+1$.
Thật vậy, ta có: $\begin{array}{cl} P_{n+1}-P_n&=\left( \dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{2(n+1)} \right)-\left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n} \right)\\ &=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}\\ &=\dfrac{3}{(2n+1)(2n+2)}>0, \forall n \ge 2. \end{array}$
Suy ra: $P_{n+1}>P_n\ge \dfrac{13}{24}, \forall n\ge 2$ (đpcm).
