Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cách 1:
Áp dụng công thức:
\( S =\dfrac{1}{2}absinC\\ \Leftrightarrow 4S^2=a^2b^2sin^2C\\ \Leftrightarrow 4S^2=a^2b^2(1-cos^2C)\\= a^2b^2[1-(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2]\\=a^2b^2.\dfrac{(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{4a^2b^2}\\=\dfrac{[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}{4}\\ = \dfrac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4}\\=4p(p-a)(p-b)(p-c)\\ \Rightarrow S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}(dpcm)\)
Cách 2:
Kẻ `AH \bot BC`. Đặt `AB=c; BC=a; CA=b; BH=x; AH=h.`
Khi đó:
Xét `\triangle AHB` vuông tại A có: `h^2+x^2=c^2\ (1)`
Xét `\triangle AHC` vuông tại A có: `h^2+(a-x)^2=b^2 \Rightarrow h^2+a^2-2ax+x^2=b^2\ (2)` Lấy `(1)-(2)` theo vế, ta có: `2ax-a^2=c^2-b^2`
`\Rightarrow x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}\ (3)`
Thay `(3)` vào `(1),` ta có: `c^2=h^2+(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})^2`
`\Rightarrow h^2= c^2-(\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})` `=(c-\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})(c+\frac{a^2-b^2+c^2}{2a})`
`=\frac{2ac-a^2+b^2-c^2}{2a}.\frac{2ac+a^2-b^2+c^2}{2a}`
`=\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.\frac{b^2-(a-c)^2}{2a}` `\frac{(a+b+c)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)}{4a^2}\ (*)`
Với `\frac{a+b+c}{2}=p \Rightarrow 2p=a+b+c \Rightarrow` \(\begin{cases} a+c-b=2(p-b)\\a+b-c=2(p-c)\\b-a+c=2(p-a)\end{cases}\) \((**)\)
Thay \((**)\) vào (*), ta có: `h^2=\frac{2p.2(p-b).2(p-a).2(p-c)}{4a^2}` `\Rightarrow h=\sqrt{\frac{2p.2(p-b).2(p-a).2(p-c)}{4a^2}}` `=\frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}` `\Rightarrow S_{ABC}=ah=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`
