Giải thích các bước giải:
Giả sử: n(n+1)(n+2)....(n+7) + 7! = $a^{2}$ + $b^{2}$ (1) (a,b ∈ Z)
Nhận xét: Một số chính phương chia cho 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 2
Từ (1), ta suy ra: $a^{2}$ + $b^{2}$ chia hết cho 7
⇒ $a^{2}$ chia hết cho 7 và $b^{2}$ chia hết cho 7 ⇒ a chia hết cho 7 và b chia hết cho 7
⇒ $a^{2}$ chia hết cho 49 và $b^{2}$ chia hết cho 49
⇒ $a^{2}$ + $b^{2}$ chia hết cho 49
⇒ n(n+1)(n+2)....(n+7) + 7! chia hết cho 49 ( Vô lí vì n(n+1)(n+2)....(n+7) chia hết cho 49 nhưng 7! không chia hết cho 49)
Vậy n(n+1)(n+2)....(n+7) + 7! không thể biểu diễn thành tổng của 2 số chính phương
