Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn yêu cầu.
Từ $\frac{1}{p}=\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}$
$\Rightarrow (m^{2}+n^{2})p=m^{2}n^{2}$
$\Leftrightarrow (m^{2}-p)(n^{2}-p)=p^{2}$
Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m^{2}-p=p\\ n^{2}-p=p \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} m^{2}-p=p^{2}\\ n^{2}-p=1\end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (Vì $p$ nguyên tố).
Xét TH1: Từ $m^{2}-p=p$ suy ra $m^{2}=2p$ mặt khác vì $p$ lẻ $\Rightarrow p=2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$
$\Rightarrow m^{2}=4k+2\equiv 2 (mod4) \Rightarrow$ vô lí.
Xét TH2: Từ $m^{2}-p=p^{2}$ suy ra $m^{2}=p(p+1) \Rightarrow p=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$ vì $(p;p+1)=1$
$\Rightarrow p=a^{2} \Rightarrow$ vô lí vì p nguyên tố.
Vậy trong cả 2TH đều dẫn đến vô lí suy ra điều giả sử là sai $\Rightarrow ĐPCM$
