Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Chứng minh phương trình \({3^x} - x - 1 = 0\) vô nghiệm bằng phương pháp hàm số.
- Rút \(y\) theo \(x\). Tìm dạng của số nguyên dương \(x\) và chặn giá trị của \(x\). Từ đó suy ra số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{3^{x + y}} - {x^2}\left( {{3^x} - 1} \right) = \left( {x + 1} \right){.3^y} - {x^3}\\ \Leftrightarrow {3^x}{.3^y} - \left( {x + 1} \right){.3^y} = {x^2}\left( {{3^x} - 1} \right) - {x^3}\\ \Leftrightarrow {3^y}\left( {{3^x} - x - 1} \right) = {x^2}\left( {{3^x} - 1 - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{3^x} - x - 1} \right)\left( {{3^y} - {x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} - x - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} - {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} - x - 1\) với \(x > 0\) ta có: \(f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 1 > \ln 3 - 1 > 0\,\,\forall x > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x > 0\). Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Xét phương trình (2) \( \Leftrightarrow {3^y} = {x^2} \Leftrightarrow y = {\log _3}{x^2} = 2{\log _3}x > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Vì \(y \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(x\) có dạng \(x = {3^k}\), theo bài ra ta có \(x < 2020 \Leftrightarrow {3^k} < 2020 \Leftrightarrow k < {\log _3}2020 \approx 6,9\).
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x > 1\) nên \(k \in \mathbb{N}\), \(k > 0\), do đó \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
Ứng với mỗi giá trị của \(k\) cho ta một cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có 6 cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Chọn C.
