Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Đưa logarit về cùng cơ số 2, sử dụng công thức \({\log _{{a^n}}}{x^m} = \dfrac{m}{n}{\log _a}x\) \(\left( {0 < a
e 1,\,\,x > 0} \right)\).
- Đặt \(t = {\log _2}x\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {1;8} \right]\). Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).
- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\).
- Khảo sát hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn khoảng giá trị của \(t\) và tìm \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(x > 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _2^2\left( {4x} \right) - m{\log _{\sqrt 2 }}x - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 2m{\log _2}x - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4{\log _2}x + 4 - 2m{\log _2}x - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 2\left( {2 - m} \right){\log _2}x - 2m = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x\), với \(x \in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow {\log _2}x \in \left[ {0;3} \right]\).
Khi đó phương trình (*) trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{t^2} + 2\left( {2 - m} \right)t - 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {t + 1} \right) = {t^2} + 4t\\ \Leftrightarrow 2m = \dfrac{{{t^2} + 4t}}{{t + 1}}\,\,\,\left( {t \in \left[ {0;3} \right]} \right)\,\,\left( {2*} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 4t}}{{t + 1}} = t + 3 - \dfrac{3}{{t + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), có: \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\,t \in \left[ {0;3} \right]\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 0,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = \dfrac{{21}}{4}\).
Do đó, phương trình (2*) có nghiệm \( \Leftrightarrow 0 \le 2m \le \dfrac{{21}}{4} \Leftrightarrow 0 \le m \le \dfrac{{21}}{8}\).
Mà \(m\) là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
