Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^2x - m{\log _9}{x^2} + 2 - m = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;9} \right]\). A.\(3\) B.\(2\) C.\(5\) D.\(1\)
Phương pháp giải: - Đặt \(t = {\log _3}x\), tìm khoảng giá trị của \(t\). - Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\). - Cô lập \(m\), tìm điều kiện để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm. Giải chi tiết:ĐKXĐ: \(x > 0\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _3^2x - m{\log _9}{x^2} + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - m{\log _{{3^2}}}{x^2} + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - m{\log _3}x + 2 - m = 0\end{array}\) Đặt \(t = {\log _3}x\), với \(1 \le x \le 9 \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\), phương trình trở thành \({t^2} - mt + 2 - m = 0\). Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình \({t^2} - mt + 2 - m = 0\,\,\left( * \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;2} \right]\). \(\left( * \right) \Leftrightarrow m\left( {t + 1} \right) = {t^2} + 2\) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} + 2}}{{t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\forall t \in \left[ {0;2} \right]\). Xét hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t.\left( {t + 1} \right) - \left( {{t^2} + 2} \right)}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 2t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\). \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 + \sqrt 3 \in \left[ {0;2} \right]\\t = - 1 - \sqrt 3 otin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\) Ta có \(f\left( 0 \right) = 2,\,\,f\left( 2 \right) = 2,\,\,f\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = - 2 + 2\sqrt 3 \). Do đó phương trình (*) có nghiệm \(m \in \left[ { - 2 + 2\sqrt 3 ;2} \right]\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 2\). Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.