Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:\(\begin{align} & \sin 2x-\cos 2x+\left| \sin \,x+\cos x \right|-\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}-m=0 \\ & \Leftrightarrow \sin 2x-2{{\cos }^{2}}x+1+\left| \sin \,x+\cos x \right|-\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}-m=0 \\ & \Leftrightarrow \sin 2x+1+\left| \sin \,x+\cos x \right|=2{{\cos }^{2}}x+m+\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m} \\ & \Leftrightarrow {{\left| \sin \,x+\cos x \right|}^{2}}+\left| \sin \,x+\cos x \right|=2{{\cos }^{2}}x+m+\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}\,\,(1) \\ \end{align}\)
Xét hàm số \(y=f(t)={{t}^{2}}+t,\,\,t\ge 0\), ta có:
\(y'=f'(t)=2t+1>0,\,\,\forall t\ge 0\)
\(\Rightarrow y=f(t)\) đồng biến trên khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\) \((1)\Leftrightarrow f\left( \left| \sin \,x+\cos x \right| \right)=f\left( \sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m} \right)\Leftrightarrow \left| \sin \,x+\cos x \right|=\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}\Leftrightarrow 1+2\sin \,x\cos x=2{{\cos }^{2}}x+m\)
\(\Leftrightarrow m=\sin \,2x-\cos 2x\Leftrightarrow m=\sqrt{2}\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)\,\,\,(2)\)
Mà \(-1\le \sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1,\,\,\forall x\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)\le \sqrt{2},\,\,\forall x\)
\(\Rightarrow \) Để phương trình (2) có nghiệm thì \(m\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\).
\(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1 \right\}\)
Vậy, có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn: C
