Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)
Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\)\( \Rightarrow y' = 8{x^2} + \frac{2}{x} - m\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\,\,1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8{x^2} + \frac{2}{x} - m \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\,\,1} \right)\\ \Leftrightarrow 8{x^2} + \frac{2}{x} \ge m\,\,\,\forall x \in \left( {0;\,\,1} \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;\,\,1} \right)} \left( {8{x^2} + \frac{2}{x}} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(y = 8{x^2} + \frac{2}{x}\) trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\) ta có:\(y' = 16x - \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow 16x - \frac{2}{{{x^2}}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 16{x^3} = 2 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow m \le 6.\)
Lại có \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}.\)
Chọn B.
