Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) không vượt quá \(2021\) để phương trình \({4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0\) có nghiệm? A.\(2019\) B.\(2018\) C.\(2021\) D.\(2017\)
Đáp án đúng: B Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ \(t = {2^{x - 2}} > 0\). - Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = g\left( t \right)\,\,\left( {t > 0} \right)\). - Lập BBT của hàm số \(g\left( t \right)\) khi \(t > 0\). - Dựa vào BBT tìm giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm.Giải chi tiết:Ta có \({4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{2^{x - 2}}} \right)^2} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0\). Đặt \(t = {2^{x - 2}} > 0\), phương trình đã cho trở thành \(4{t^2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = g\left( t \right)\,\,\left( {t > 0} \right)\). Xét hàm số \(g\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = 4t + \dfrac{1}{t}\) có \(g'\left( t \right) = 4 - \dfrac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\). BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm \(t > 0 \Leftrightarrow m \ge 4\). Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \in {\mathbb{Z}^ + }\\m \le 2021\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;...;2020;2021} \right\}\). Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.