`\qquad |x^2−4|x|−5|−m=0` $(1)$
`<=>|x^2-4|x|-5|=m`
Đặt: `f(x)=x^2-4|x|-5`
$⇒f(x)=\begin{cases}x^2-4x-5\ (với \ x\ge 0)\\x^2+4x-5\ (với \ x<0)\end{cases}$
Vẽ đồ thị hàm số $f(x)$ $(C)$, từ đó vẽ đồ thị hàm số $|f(x)|=|x^2-4|x|-5|$ bằng cách:
+) Giữ nguyên phần đồ thị $(C)$ phía trên trục $Ox$, đặt là $(C_1)$
+) Lấy đối xứng qua trục $Ox$ phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của $(C)$, được đồ thị đặt là $(C_2)$
Ta có đồ thị của $|f(x)|$ là $C_1∪C_2$
Để phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt
`=>` phương trình $|f(x)|=m$ có $2$ nghiệm phân biệt
`=>` Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $|f(x)|$ tại $2$ điểm phân biệt
Từ đồ thị suy ra: $m=0$ hoặc $m>9$
Vì `m\in Z^+` và `m\in [0;2020]`
`=>m\in {Z^+|m\in[0;2020]`\ `[0;9]}`
Vậy có tất cả $2011$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa đề bài.
