Đáp án: $m<\dfrac{9}{4}$ và $m\ne 0$
Giải thích các bước giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
$m(x-1)+1=-x^3+3x-1$
$\Rightarrow -x^3+3x-2=m(x-1)$
$\Rightarrow -(x-1)^2(x+2)=m(x-1)$
$\Rightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $-(x-1)(x+2)=m$ (1)
Để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\ne 1$
Xét $y=VT=-x^2-x+2$
$y'=-2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}$
Xét dấu của $y'$: $\dfrac{-1}{2}$
$+$ $-$
Nên $x_{CĐ}=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow y_{CĐ}=y(\dfrac{-1}{2})=\dfrac{9}{4}$
$\Rightarrow m<\dfrac{9}{4}$ thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
để nghiệm của (2) $\ne 1$ ta xét $-(1-1)(1+2)\ne m\Rightarrow m\ne 0$
Vậy với $m<\dfrac{9}{4}$ và $m\ne 0$ thì đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
