Đáp án:
$2$ giá trị $m$ nguyên dương
Giải thích các bước giải:
$\quad 16^x - 2.12^x + (m-2).9^x = 0\qquad (*)$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac43\right)^{2x} - 2\cdot \left(\dfrac43\right)^{x} + m - 2 = 0$
Đặt $t = \left(\dfrac43\right)^{x}\quad (t > 0)$
$x\in (0;+\infty) \Rightarrow t\in (1;+\infty)$
Phương trình trở thành:
$\quad t^2 - 2t + m - 2 = 0$
$\Leftrightarrow t^2 - 2t - 2 =-m\qquad (*)$
$(*)$ có nghiệm $x\in (0;+\infty)$
$\Leftrightarrow (**)$ có nghiệm $t\in (1;+\infty)$
Xét $f(t)= t^2 - 2t - 2$
$\Rightarrow f'(t)= 2t - 2$
$f'(t)= 0 \Leftrightarrow t= 1$
Bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}t&-\infty&&1&&+\infty\\\hline f'(t)&&-&0&+&\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu, ta được:
$\mathop{\min}\limits_{[1;+\infty)}f(t)= f(1)= -3$
Khi đó:
$(**)$ có nghiệm $t\in (1;+\infty)$
$\Leftrightarrow y = - m$ cắt $y = f(t)$ tại ít nhất một điểm trên $(1;+\infty)$
$\Leftrightarrow - m > - 3$
$\Leftrightarrow m < 3$
mà $m\in \Bbb Z^+$
nên $m\in \{1;2\}$
