Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 12{x^2} + 3mx - 4\) đạt cực đại tại \({x_1}\) và đạt cực tiểu tại \({x_2}\) đồng thời \({x_1} < {x_2}\). A.4 B.1 C.2 D.3
Phương pháp giải: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a e 0} \right)\) có 2 điểm cực trị thỏa mãn \({x_{CD}} < {x_{CT}}\) khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt và \(a > 0\). Giải chi tiết:+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). + \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 24x + 3m\). + Hàm số đạt cực đại tại \({x_1}\) và đạt cực tiểu tại \({x_2}\) đồng thời \({x_1} < {x_2}\) khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {12^2} - 3\left( {m - 1} \right).3m > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}144 - 9{m^2} + 9 > 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {17} < m < \sqrt {17} \\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 < m < \sqrt {17} \end{array}\) Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.