|
Xét ptrinh | |
$\sin^6x + \cos^6x = m|\sin(2x)|$ | |
$<-> (\sin^2x + \cos^2x)(\sin^4x + \cos^4x - \sin^2x \cos^2x) = m|\sin(2x)|$ | |
$<-> \sin^4x + \cos^4x - \sin^2x \cos^2x = m|\sin(2x)|$ | |
$<-> (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 3\sin^2x \cos^2x = m|\sin(2x)|$ | |
$<-> 1 - \dfrac{3}{4} \sin^2(2x) = m|\sin(2x)|$ | |
Đặt $|\sin(2x)| = t$. Khi đó $0 \leq t \leq 1$ và ptrinh trở thành | |
$1 - \dfrac{3}{4} t^2 - mt = 0$ | |
$<-> 4-3t^2 -4mt = 0$ | |
$<-> 3t^2 + 4mt - 4 = 0$ (1) | |
Để ptrinh đã cho có nghiệm thì (1) phải có nghiệm thuộc $[0,1]$. Ta có | |
$\Delta' = (2m)^2 + 3.4 = 4m^2 + 12 > 0$ | |
Vậy ptrinh luôn có 2 nghiệm | |
$t_1 = \dfrac{-2m -\sqrt{4m^2 + 12}}{3}, t_2 = \dfrac{-2m + \sqrt{4m^2 +12}}{3}$ | |
TH1: $\dfrac{-2m -\sqrt{4m^2 + 12}}{3} \in [0,1]$ | |
Với | |
$-2m - \sqrt{4m^2 + 12} \geq 0$, | |
ta suy ra $12 \leq 0$. Điều này là đúng. | |
Với $-2m - \sqrt{4m^2 + 12} \leq 1$ ta có | |
$\sqrt{4m^2 + 12} \geq -2m-1$ | |
Với $m > -\dfrac{1}{2}$ thì $-2m-1 < 0$ nên BĐT đúng với mọi $m$. | |
Với $m < -\dfrac{1}{2}$, bình phương 2 vế ta có | |
$4m^2 + 12 \geq 4m^2 + 4m + 1$ | |
$<-> 4m \leq 11$ | |
$<-> m \leq \dfrac{11}{4}$ | |
Kết hợp vs đk ta có $m \leq -\dfrac{1}{2}$ | |
Vậy các giá trị | |
Dễ thấy rằng $t_2> 0$. Ta chỉ cần | |
$-2m + \sqrt{4m^2 + 12} \leq 1$ | |
$<-> \sqrt{4m^2 + 12} \leq 2m + 1$ | |
ĐK: $m \geq -\dfrac{1}{2}$. Bình phương 2 vế ta có | |
$4m^2 + 12 \leq 4m^2 + 4m + 1$ | |
$<-> 4m + 1 \geq 12$ | |
$<-> m \geq \dfrac{11}{4}$ | |
Két hợp vs đk suy ra mâu thuẫn. Vậy ko có m thỏa mãn ở trường hợp này. |
